Flexion des stubs

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Contexte : besoin de rigidité

Parmi les éléments caractérisant la "rigidité" de la structure d'une imprimante 3D, les guidages linéaires sont fondamentaux. Sur une structure de type "Prusa" comme celle de la LOGresse, les tiges d'acier ("stub") supportant et guidant le mouvement du chariot, comme celles supportant le plateau subissent divers efforts et vibrations qui les amènent à fléchir soit de manière élastique (avec retour possible à la rectitude d'origine) soit de manière plastique (déformations permanentes). Ces déformations de flexion peuvent engendrer des trajectoires non rectilignes du chariot ou du plateau et donc des variations d'altitude relative de la tête d'impression par rapport au plateau sur lequel la pièce doit être construite. Imaginons que l'on souhaite imprimer un objet avec une très bonne qualité, sous forme de couches de 0,1mm d'épaisseur, si la variation de hauteur de la tête par rapport au plateau est du même ordre de grandeur, il est possible que la buse touche parfois le plateau (plus d'extrusion possible sur cette première couche, moteur d'entraînement du filament qui patine, buse qui se bouche,...) ou par endroits que l'épaisseur réelle soit 2 fois trop grande, avec une mauvaise accroche de la première couche au plateau et toutes les conséquences potentielles bien connues.

Pourquoi les stubs peuvent fléchir ?

Les stubs ne sont pas parfaitement rectilignes à l'origine. Mais sur un matériau de qualité correcte, on peut estimer le défaut de rectitude de l'ordre de 1 à 3 centièmes de mm sur la longueur de 240mm de ces guidages.

Ils sont ensuite fixés à chaque extrémités, généralement par paire pour chaque guidage, sur des appuis plus ou moins rigides, c'est à dire permettant ou non le glissement longitudinal, et la rotation ("rotulage") autour du point d'appui (Modèles d'appui des poutres).

Puis le chariot (pour l'axe 'X') ou le plateau chauffant (axe 'Y') sont fixés sur des paliers permettant leur déplacement le long des stubs, et le poids de ce chariot/plateau amène une flexion inévitable des barres d'acier. C'est la raison principale de la déformation de ces stubs. La pesée d'un chariot complet de LOGresse (les plaques en acier, avec extrudeur Wade, moteur Nema17 et engrenages, tête chauffante E3D, ventilateur etc.) montre une masse d'environ 800g. La masse d'un plateau chauffant de 200x200mm (cadre métallique, heat-bed, isolation, et miroir) est estimée au même ordre de grandeur.

Lors du changement de filament il n'est pas rare que l'utilisateur appuie sur un levier pour dégager l'ancien filament, ou lors d'une tentative de débouchage de buse, qu'il appuie sur le filament lui-même pour tenter de lui faire traverser la buse. Ces efforts qui peuvent largement dépasser 10N ou 20N s'ajoutent au poids du chariot.

Si les déformations dues au poids du chariot/plateau seul n'atteignent pas la limite élastique du matériau (pas de déformation permanente) il n'est pas impossible que les sollicitations plus importantes et répétées, sur un acier de qualité moyenne, engendrent progressivement un cumul de déformations plastiques (permanentes, probablement liées à une sorte de fluage) qui vont alors s'ajouter aux déformations dues au poids du chariot. La probabilité d'apparition de ce type de déformation permanente, sous l'action d'efforts restant faibles, est très difficile à évaluer.

Pourquoi cette étude sur la flexion ?

Puisque nous envisageons d'allonger la course de la LOGresse sur au moins l'une des directions (X ou Y), il semble utile d'évaluer les impacts de cette modification sur la qualité de notre machine.

Ces éléments seront un des critères de choix de l'allongement suivant un axe ou l'autre : est-il préférable, du point de vue de la flexion des stubs de guidage, d'allonger sur X ou sur Y ??

Etude théorique

Concernant la flexion des stubs de la LOGresse, voici quelques évaluations théoriques, basées sur la théorie des poutres :

  • Je suppose le chariot générant une charge (P) centrée au milieu d'un seul stub,
  • Mon ancien chariot LOGresse V1 (avec un seul extrudeur Wade, moteur, fan, E3D, et un peu de connectique) a une masse d'un peu moins de 800g (mesurée ce soir sur la balance de cuisine). Je n'ai pas compté les 3 douilles à billes. Je fais l'hypothèse que mon double extrudeur actuel (Nema17 x2, E3D x2, pièces alu x2, fans x2) est de l'ordre de 1200g. (je l'avais pesé il y a quelques mois mais j'ai oublié la masse exacte :-( ). La charge appliquée est alors P=12N --> je ferai les calculs avec 10N, ce qui est entre les 2 valeurs précédentes, mais surtout facilite l'évaluation avec un effort différent puisque c'est directement proportionnel.
  • Je fais l'hypothèse d'un encastrement du stub à chaque extrémité, ce qui rigidifie par rapport à la réalité (ce n'est pas tout à fait le cas) et (ne) compense (que) partiellement le fait que je compte un seul stub.

Notations :

Diamètre du stub : D
Longueur du stub : L
Module de Young de l'acier : E = 200 000 N⋅mm2
Inertie de flexion du stub : I = π D4/64

Relation théorique : Flèche du stub au centre : [math]F = \frac{P L^3}{192 \; E \, I}[/math]

La déformation (probablement un peu sur-estimée donc) serait alors :

Charge (N) 	10 	10 	10 	10
Longueur (mm) 	325 	325 	425 	425
Diamètre (mm) 	8 	10 	8 	10
Flèche (mm) 	0,04 	0,02 	0,10 	0,04

On peut espérer qu'avec 2 stubs la flèche soit à peu près divisée par 2.

Conclusions : (si je n'ai pas fait d'erreur...)

Cette flèche théorique n'est pas très importante (quelques centièmes de mm), mais est proche des grandeurs de défauts qui, se cumulant, peuvent être gênants (quelques centièmes ici + quelques centièmes par là = quelques dixièmes...). Quels que soient les hypothèses et les résultats chiffrés :

  • passer d'une longueur de 325mm (actuelle) à 425mm multiplie cette flèche par un facteur (425/325)3 = 2,23. (passage de quelques centièmes à proche d'un dixième de mm)
  • passer d'un diamètre de 8mm à un diamètre de 10mm réduit la flèche par un facteur (10/8)4 = 2,4.

===> L'augmentation de diamètre peut compenser l'augmentation de longueur.

Autre commentaire concernant les douilles à billes :

Le fait d'appuyer le chariot sur 2 douilles par stub au lieu d'une seule, permet

  • de répartir la charge, ce qui réduit la déformation,
  • de rigidifier un peu la partie de stub située entre les douilles si celles-ci sont rigidement liées à la plaque métallique du chariot... ce qui n'est pas réalisé en général, les colliers nylon laissant une grande liberté de mouvement aux douilles.

On aura donc intérêt, autant que possible :

  • à écarter les douilles pour que la charge ne soit pas appliquée au centre de la poutre,
  • à rigidifier la liaison douille-chariot, avec le risque de générer de la friction supplémentaire dans le mouvement du chariot.

Comparaisons entre les axes X et Y :

sur Y, la longueur est similaire, les douilles sont un peu plus écartées (charge mieux répartie), et j'évalue la masse transportée (Bed + Bed_support + Heat-Bed + miroir de 4mm) calculée avec les volumes et densités, à un total de 980g (sans les pinces ni autres vis et ressorts). Presque 1kg, donc similaire aussi.
Les douilles de l'axe Y sont plus écartées, et montées plus rigidement au chariot porte-plateau, ce qui devrait amener moins de flexion.
Les fixations aux extrémités sont probablement un peu moins rigides que celles de l'axe X. Donc plus proches de types "appui" que de type "encastrement", mais la possibilité de rotulage est difficile à estimer.

L'autre différence principale entre X et Y, outre l'écartement des douilles, viendrait de la différence de cinématique : on vient toujours déposer la matière à peu près au milieu des stubs Y quelle que soit la position du plateau, alors que le chariot porte la tête qui se déplace le long des stubs X. Je me comprends je crois... je ferai un petit schéma au tableau blanc du LOGal un de ces jours si c'est pas clair ;-)

Déformations permanentes

Le paragraphe précédent concerne l'évaluation des déformations dites élastiques, c'est à dire que si l'effort venait à disparaître, la poutre devrait revenir à sa forme initiale, comme un ressort.
Les déformations plastiques peuvent normalement apparaître si la contrainte (efforts à l'intérieur de la matière) dépasse en certaines zones la "résistance limite élastique" (notée 'Re') du matériau. Si tous les aciers ont un module de Young (rigidité) compris entre 190000 et 210000MPa, ils se différencient par contre très nettement par leur limite élastique. Un acier très bas de gamme peut avoir un Re de l'ordre de 170MPa, alors qu'un acier très haute de gamme peut atteindre 1000MPa. Un acier à stub bas de gamme peut se situer autour de 200MPa (non vérifié sur l'instant !!) alors qu'un stub haut de gamme en 100C6 (matériau utilisé classiquement pour la fabrication des roulements à billes) atteint 700 à 800MPa.

Ceci dit, quel est l'ordre de grandeur des contraintes dans nos stubs de LOGresse ??
Un calcul de RDM (que je ne détaillerai pas ici) sur une poutre de diamètre 8mm, longueur 240mm, encastrée aux extrémités, et soumise à 30N (3kg) en son milieu subit une contrainte maxi de l'ordre de 20MPa. Aucune déformation plastique directe ne peut donc apparaître dans ces conditions, quel que soit l'acier utilisé.

Il est possible par contre que des sollicitations répétées de faible amplitude engendrent une sorte de fluage progressif, se traduisant par une légère déformation plastique. Mais je n'ai aucune donnée chiffrée pour évaluer ceci. Un moyen "simple" pour éviter ce phénomène serait de faire faire de temps en temps (2 fois par an ?) un changement de position (rotation d'un demi tour par exemple) à nos stubs.

Expérimentation

dispositif

Afin de préciser les ordres de grandeur des déformations en conditions réelles, i.e. sans les interrogations liées aux hypothèses diverses d'encastrement ou de tenue des paliers plus ou moins rigides, de localisation des appuis et de répartition de la charge, de caractéristiques de l'acier utilisé, etc... il est nécessaire de passer à la mesure directe sur la machine.

Dispositif de mesure de flèche sur l'axe X

Le dispositif expérimental est le suivant pour la mseure de flexion des stubs de l'axe X :

  • un châssis de LOGresse "purple" posé entre 2 tables,
  • les 2 chariots verticaux posés sur les cales en alu,
  • une ficelle accrochée au "X-carriage-bearing"
  • un support magnétique fixé sur la face interne d'un "side"
  • un comparateur monté sur le support magnétique, et dont la touche est en appui sur le haut du "X-carriage-bearing",
  • un dynamomètre accroché à la ficelle sous les tables,
  • le comparateur est mis à 0
  • un opérateur tire sur le dynamomètre
  • un 2e opérateur note les valeurs du comparateur

Pour la mesure de flexion des stubs Y, même dispositif avec les modifications suivantes :

  • le plateau est recentré sur son axe
  • la touche du comparateur est appui au centre du plateau
  • la ficelle est accrochée au "Y-belt-holder"

Résultats de mesures

Voici les mesures lues par "OP2" :-)

Charge (kg)   déf.X (mm)   déf. Y (mm)
  0             0            0
  1             0.05         0.03
  1.5           0.07         (0.04 ? non mesurée)
  2             0.1          0.06
  3             0.16         0.1

Infos complémentaires...

  • La longueur "libre" des stubs est de :
    • sur l'axe X : 325mm
    • sur l'axe Y : 335mm
  • l'entraxe des douilles à billes
    • sur le stub supérieur axe X : 40mm
    • stub inférieur axe X : un seul stub centré (ceci peut expliquer une flèche un peu plus importante)
    • stubs Y droit et gauche : 70mm

On constate que :

  • les ordres de grandeur estimés par le calcul ne sont pas trop éloignés de la réalité :-)
  • les déformations mesurées sont même un peu plus grandes que celles estimées :-(
  • les déformations sont bien proportionnelles aux efforts
  • La flèche sur Y est plus faible que sur X (environ 2/3) probablement lié à l'écartement des douilles, et à la présence de 4 douilles.

Conclusion à discuter :
Du point de vue de cette étude, il semble préférable d'augmenter la longueur du guidage suivant Y, moyennant d'augmenter la distance entre les douilles à billes du bed (de manière modérée, sans que cela nécessite d'allonger d'autant la longueur des stubs pour obtenir la course souhaitée !), et d'augmenter le diamètre des stubs. D'autres critères pourraient conduire au choix opposé selon par exemple la complexité et le coût des modifications induites.


Mesures complémentaires

Il serait intéressant de compléter ces mesures par une mesure du mouvement vertical du chariot X sur nos machines. Pour cela, se procurer un support de comparateur léger (pas le support magnétique utilisé ci-dessus) à fixer sur le chariot (voir système de Patrick), ainsi qu'une règle bien rectiligne.

  • règle posée sur le plateau
  • touche du comparateur sur la règle
  • déplacer le chariot

La règle permettrait de s'abstraire d'éventuels doutes sur la planéité du miroir.